Fiche 02 — Vecteur déplacement

1. Du vecteur position au déplacement

Dans la fiche 01, on a appris à localiser un point grâce au vecteur position OM^→. Maintenant les objets bougent — on veut décrire comment ils se déplacent entre deux instants.

Un point part de M₁ (position initiale) et arrive en M₂ (position finale). Le vecteur déplacement relie directement M₁ à M₂, en ligne droite, quelle que soit la trajectoire réellement empruntée.

Définition

Le vecteur déplacement M₁M₂^→ est la différence des vecteurs position : position finale moins position initiale.

M₁M₂^→ = OM₂^→ − OM₁^→ position finale − position initiale

En coordonnées, avec M₁(x₁ ; y₁) et M₂(x₂ ; y₂) :

M₁M₂^→ = (x₂−x₁) · x^→ + (y₂−y₁) · y^→ composantes du déplacement en 2D

Vecteur déplacement M1M2 dans un repère 2D

Fig. 1 — M₁M₂^→ et ses composantes

Fig. 2 — Trajectoire ≠ déplacement

2. Propriétés essentielles

Le déplacement est indépendant du chemin suivi

Que tu ailles de Paris à Lyon par l'autoroute, les petites routes ou en avion, le vecteur déplacement est identique — même direction, même sens, même norme (~392 km à vol d'oiseau). La distance parcourue change, pas le déplacement.

⚠️ Attention

Déplacement ≠ distance parcourue. Le déplacement est un vecteur (direction + sens + norme). La distance est un scalaire (toujours positif). Aller-retour jusqu'au point de départ → distance > 0 mais déplacement = vecteur nul.

La norme du vecteur déplacement

La norme ‖M₁M₂^→‖ est la distance à vol d'oiseau entre les deux points :

‖M₁M₂^→‖ = √( (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² ) unité : mètre (m)

⚡ Hors-programme — pour les curieux

En relativité générale d'Einstein, la masse courbe l'espace : le « chemin le plus court » n'est plus une droite mais une géodésique. La lumière des étoiles se courbe autour du Soleil parce qu'elle suit simplement le plus court chemin dans un espace courbé. Newton n'aurait pas aimé — et pourtant, c'est ce que le GPS corrige en permanence. 😄

✏️ Exercice — Le drone

Fig. 3 — Repère pour l'exercice (1 carreau = 1 m)

Un drone part du point A(1 ; 1), passe par B(4 ; 3), puis termine en C(2 ; 5). Il emprunte une trajectoire courbe — peu importe.

1. Calculer les composantes de AB^→ et BC^→.
2. Calculer la norme de chaque déplacement.
3. Que vaut CA^→ ? Que remarques-tu par rapport à AC^→ ?

Voir la correction

1. AB^→ = 3·x^→ + 2·y^→ | BC^→ = −2·x^→ + 2·y^→

2. ‖AB^→‖ = √13 ≈ 3,6 m | ‖BC^→‖ = √8 ≈ 2,8 m

3. CA^→ = −1·x^→ − 4·y^→ = −AC^→ → Inverser le sens = changer le signe de toutes les composantes.