En fiche 03, on a défini la vitesse comme v = d / Δt. Ce calcul donne une vitesse moyenne — une valeur lissée sur tout le trajet, qui ignore ce qui s'est passé entre le départ et l'arrivée.
La vitesse moyenne sur un intervalle [t1 ; t2] est le rapport entre la distance totale parcourue et la durée totale du trajet. Elle ne dit rien sur les variations de vitesse en cours de route.
vmoy ≠ (vmax + vmin) / 2 en général. Cette formule n'est vraie que si la vitesse varie de façon parfaitement régulière (cas du MRUA, fiche 08). Dans tous les autres cas, il faut revenir à v = d / Δt.
Exemple concret : tu pars de Paris, tu t'arrêtes 30 min en route, tu arrives à Lyon. La vitesse moyenne prend en compte l'arrêt — elle est plus faible que ta vitesse quand tu roulais vraiment.
Le compteur de ta voiture n'affiche pas une vitesse moyenne depuis le départ. Il affiche la vitesse à cet instant précis — la vitesse instantanée.
La vitesse instantanée en un instant t est la vitesse de l'objet à cet instant précis. C'est ce qu'on obtient en calculant la vitesse moyenne sur un intervalle de temps de plus en plus petit autour de t.
On ne peut pas "photographier" un instant mathématique. En pratique, on utilise la chronophotographie : des photos prises à intervalles de temps réguliers (toutes les Δt secondes). Entre deux positions consécutives, on calcule :
Plus Δt est petit, meilleure est l'approximation. C'est exactement ce que fait un GPS : il enregistre ta position toutes les secondes et divise par 1 s pour estimer ta vitesse.
Le tableau ci-dessous donne les positions d'un objet relevées toutes les secondes. On peut en extraire les vitesses instantanées approchées.
| Instant t (s) | Position x (m) | Δx entre deux instants (m) | vi ≈ Δx / Δt (m/s) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | — | — |
| 1 | 2 | 2 − 0 = 2 | 2,0 m/s |
| 2 | 5 | 5 − 2 = 3 | 3,0 m/s |
| 3 | 9 | 9 − 5 = 4 | 4,0 m/s |
On voit que la vitesse augmente : l'objet accélère. La vitesse moyenne sur l'ensemble (0 à 3 s) vaut vmoy = 9 / 3 = 3 m/s — une valeur intermédiaire qui ne correspond à aucun instant particulier.
Sur un graphe d(t) : la vitesse moyenne entre deux points = pente de la droite qui relie ces deux points (la sécante). La vitesse instantanée en un point = pente de la droite tangente à la courbe en ce point. Cette distinction sera centrale en terminale.
La vitesse instantanée, c'est mathématiquement la dérivée de la position par rapport au temps : v(t) = dx/dt. La dérivée, c'est la limite du taux de variation quand Δt tend vers zéro. Ce concept — inventé simultanément par Newton et Leibniz au XVIIe siècle — est l'une des plus grandes révolutions intellectuelles de l'histoire des sciences. Newton en avait besoin pour décrire le mouvement des planètes. Leibniz pour optimiser des courbes géométriques. Résultat : le calcul infinitésimal, fondement de toute la physique moderne.